Полето вектор 1

Определение и Вариации

евклидово пространство

Това означава, че всяка точка в пространството е свързан с вектор (стойност на вектор на полето в дадена точка в пространството). Като цяло, този вектор е различен за различните точки в пространството, т.е. общо поле вектор приема различни стойности на различни точки в пространството. Във всяка точка на вектора на поле има определен размер и определена (освен в случаите, когато областта става нула) в посока на това пространство [3].

  • В литературата (особено в напреднала както и физически) по отношение на полето на вектора на пространство се използва като повод за (т.е., говори и в областта на пространство и поле в пространството).

разнообразие

В по-общ случай, когато оригиналният пространство е колектор. поле вектор се определя като сечение на снопа допирателна на даден колектор, т.е. картографиране всяка точка Р, който свързва вектор X р> в пространството допирателната при р.

Във физиката, областта терминът вектор. освен общата стойност, както е описано по-горе, има специално значение, най-вече по отношение на основните области (см. по-долу). Смисълът на тази консумация се свежда до факта, че основните физични полета класифицирани от естеството на техния потенциал, и един такъв тип - вектор поле (или електромагнитно поле Gluon).

Означени от полето вектор е типично само в съответствие със споразуменията, приети от вектори

  • по физика за това често се използва удебелен писмо или стрелка върху, например,
    • E> или срещу → >>;
    • 4-вектори - конвенционален индекс запис, като например I>;
  • в математическата литература като цяло, за всички вектори и векторни полета в частност нямат никакви общи специални символи.

Често изрично е посочено зависимостта от една точка в пространството. [4] например:

В (п). (Р),> където р - символично определяне на точка в пространството,

Обикновено е достатъчно опорния полукадър на вектор като функция на координатите в пространството, в което е разположен в областта, например:

или (за областта, в зависимост от времето):

Основи на аналитичната теория на полета сила, разработени от Максуел. Гибс и Хевисайд през втората половина на ХIХ век.

Специфични случаи на векторни полета

Vector полета по линията

Всяко реално ценен функция на реална променлива може да се тълкува като поле едномерен вектор.

Vector полета в самолета

Vector полета в триизмерното пространство

В триизмерното пространство има значението на следните характеристики на полето вектор

където точката означава скаларен продукт, DL> - вектор елемент на извитата пътя, по който интеграцията е, F τ> - проекцията на F> в (положително) допирателна към извит път, DL - скаларна път елемент (дължина елемент), С - специфичен кривата - пътя на интеграция (обикновено разчитат гладка достатъчно). Може би най-простият физически прототип на интеграла е работата на сила F>. действащи върху точката, докато се движите точката по предварително определен път.

- интеграл един затворен кръг:

където подинтегрален съвпада с този, описан по-горе само, и разликата се намира на пътя на интеграция С което в този случай е затворен по дефиниция, както е посочено от кръг на неразделна знак.

F (R) (\ mathbf)> S през повърхността се определя като интеграл S:

където F п> - проекция поле вектор по нормалата към повърхността, г S> - «вектор елемент повърхност", дефинирана като единица нормален вектор, умножена по г S. Най-простият пример на този дизайн е обемът на преминаване на течност през повърхност S. докато неговата скорост на потока с F.

дериват

Аналогът на производното на поле вектор действа тензор частично (Jacobian), който е в декартови координати е както следва:

- следата на производни тензор. Това не зависи от координатната система (инвариантна координатна трансформация, скаларна), и в декартови координати, изчислени по формулата:

Същият този израз може да се запише с помощта на символична nabla оператор

Гаус теорема Ostrogradskii позволява да се изчисли областта вектор на потока с помощта на силата на звука неразделна на различията между терена.

- характерен вектор вихър компонент на полето на вектора. Този вектор с координати:

За удобство, можете да съхраните традиционно представляват ротора като вектор на продукта:

- най-важният и проста операция, което ни позволява да се получи полето на вектора на полето на скаларна. Получават се чрез прилагане на такива операции за скаларно поле е се нарича градиент вектор поле F:

или като пишете чрез набл:

Полето вектор, чиито разминаване е нула навсякъде, наречен соленоидни; тя може да бъде представена като ротор на някаква друга област вектор.

Полето вектор, роторът е равна на нула при всяка точка се нарича потенциал (irrotational); тя може да бъде представена като градиент на скаларно поле (потенциал).

Налице е Хелмхолц теорема. ако навсякъде в у домейн D определя от разликата на поле вектор и ротор, тогава тази област могат да бъдат представени като сумата на потенциала и на полето за соленоидни.

Полето вектор, в който разликата, и ротора е навсякъде нула, се нарича хармонична; неговия потенциал е хармонична функция.

вектор линия

Какво е поле вектор

Линиите на магнитното поле

Интегрална крива (също - вектор линия да принуди полета - мощност линия за областта на скоростта на движение на течност - траекторията на въздушния поток; .. Първите термини са общи, а другият - те са синоними съгласно контекста) за поле F (R) (\ mathbf) > е крива R = R (т) = \ mathbf (т)>. допирателна към която във всички точки съвпада с полето за стойността крива:

За да накарате полеви силови линии са ясно да показва посоката на въздействието на полеви сили.

Ако достатъчно малка област от сферата на пространството никога не изчезва, че през всяка точка на този регион преминава една и само една линия на сила. Точката, в която векторните полета на нула - специални в тяхната посока на полето не е дефинирана, както и поведението на електропроводите, в близост до тези точки могат да бъдат различни: това е възможно, чрез единични точки минава безкраен брой линии на сила, но е възможно, че един не минава.

Полето вектор се нарича пълна. ако си интегрални криви се определят върху целия колектор.

Vector поле в наш тримерно пространство

Всички изброени за векторни полета в триизмерното пространство, структури и свойства директно да се разпространи във всеки краен пространство измерение п.

По-голямата част от тези обобщения доста тривиални освен определяне на ротора. за правилното изграждане на което в произволно наш тримерно случай, за разлика от триизмерната, че е необходимо да използвате външен. отколкото вектор (което се определя само за триизмерната случай) на продукта. Когато п = 2 съответната операция е под формата на псевдо-скаларен продукт.

Освен това, в случай на произволно н нуждае от определено подреден поток определение в. Основни дефиниции са напълно аналогични на потока през hypersurface на измерение (п - 1).

Във физиката, типични примери на полета вектор са области на сила (сила поле - сила на полето (което зависи от положението в пространството на тялото, на която действа сила) или тясно свързан със силата на напрегнатостта на полето).

Други типични примери - полето за скорост (например, течен или газов поток проценти), полето за отместване (например, в деформира еластична среда) и други [5]. например, вектор плътност на тока. вектор енергийния поток или поток на някои материални частици (например, дифузия) векторът градиент температура, концентрация или налягане и т.н., и така нататък.

Исторически погледнато, хидродинамиката е имал огромно влияние върху формирането на основните структури на вектор анализ и много му терминология. По този начин, хидродинамичен произход са понятия като

  • поток поле вектор,
  • вихър (ротор) и движението на полето на вектора,
  • поток линия

и по един или друг начин, и много други (почти всеки един от тях е, ако не и хидродинамичен произхода, хидродинамичен тълкуването).

Особено използването на термина в областта на физиката

Като цяло, терминът в областта физика вектор има същото значение, както в математиката, описани по-горе. В този смисъл поле вектор може да се нарече всеки вектор-физическото количество е функция на една точка в пространството, а често и също така зависи от времето.

Въпреки това, има един конкретен случай на използването на този термин, появяващи се най-вече в класирането на фундаменталните физични полета. В този случай, думата "вектор областта" означава, че полето за вектор (4-вектор или по-високо измерение, ако ние се занимаваме с многоизмерен абстрактни теоретични модели) е най-фундаменталната стойност - потенциал. и не неговите производни (напрегнатост на полето и т. т.). Например, до вектор области включват електромагнитното поле. потенциала на която е област 4-вектор, докато силата му от настоящата гледна точка, е тензор. Гравитационното поле се нарича в този смисъл, тензор, като му потенциал е областта тензор.

Практически синоним на "вектор поле" в този смисъл е терминът вектор частица в съвременната физика (също размножаване и други понятия за векторни частици по-нататък полето за възбуждане вектор, или да се сложи, че е малко по-традиционни - вектор частици е квант поле вектор). Друг практически синоним - частица от спин 1 или спин 1 поле.

На това класификацията (класификация завъртане бозон основното поле) са директно свързани, някои свойства на съответните полета, например привличат или отблъскват от взаимодействието на това поле частици със същия заряд (отнасяща се до този тип взаимодействие) еднакви или обратна на заряд на частиците античастицата. Частиците, които взаимодействат с помощта на полето на вектора със същия заряд са отблъснати и привлечени в обратното, и двойка частица - античастица има обратен заряд един до друг (както по-специално в случай на електромагнитното поле) - за разлика от свойствата на гравитационното поле и гравитационните такси.

  1. ↑ По принцип областта на вектор може да бъде определена по подобен начин не само на Euclidean или псевдо-Euclidean, но и на произволна линейна или афинно пространство, но обикновено пространството се разбира все още ограничен, и се смята, че тя определя вътрешното произведение (необходима за определяне на основните операции вектор анализ като отклонението на линията неразделна и т.н.) ..; във физически приложения често е обичайно физически триизмерното пространство, или четири-пространство-време.
  2. ↑ Това формално математически дефиниция не прави разлика между основното място и пространство поле вектори - он като могат да бъдат получени от други умножаване на броя (скаларна). От гледна точка на физиката между тези пространства има малка разлика, тъй като векторът област, обикновено се измерва в други единици, така че идентичността на основната пространство и вектори пространство поле до известна степен произволно (поле вектор могат да бъдат представени в основния пространство, но дължината на тази вектор ще зависи). Въпреки това, във всеки случай, в обичайното стандарт въвеждането на концепция вектор поле на размера на тези пространства съвпадат, освен това, вектор поле е прикрепен към основната пространство, в смисъл, че посоката на вектора на поле (ако не е нула) е напълно определено в пространството, в което е разположен в областта, че може да се разложи в базата (или vielbein) в основната пространство, въпреки че коефициентите на разширение и няма да безразмерна (в смисъл на физически единици) номера.
  3. ↑ Ако разгледана област, в зависимост от времето (т.е., промяна с течение на времето), се приема, че тя отнема специално дефинирани стойност (големина и посока) при всяка точка в пространството по всяко време (и по различно време, тези стойности обикновено са различни и една точка).
  4. ↑ може, разбира се, в този случай, ако е необходимо, да бъде допълнително разположение, а също така функционална зависимост на някои други параметри, като E → (R → Q.)> (>, Q),> където R → >>. - точка в пространството, Q - някои допълнителен параметър (например, цената на източник).
  5. ↑ Тези примери могат да бъдат повече или по-малко основен, но по принцип практически всеки вектор физическа величина, която зависи от координатите може да се разглежда като област вектор.